第一章 夜幕下的皇家科学院
夜色寒冷，雪花轻轻飘落，为富丽堂皇的俄罗斯科学院披上了一层银色的面纱。我，一只对人类欢乐一无所知的狗，静静地坐在我的主人伊万诺夫博士身旁，看着他将手稿一页页地扔进壁炉。
他是一位杰出的数学家，伟大的莱昂哈德·欧拉的学生。即使在战争的阴影下，他也从未停止对数学，尤其是对虚数和复分析的研究。
大战在圣彼得堡投下了漫长而黑暗的阴影。炮弹将曾经充满活力的街区夷为平地，严寒更是加剧困苦。食物稀缺，每一口冰冷的空气都是一种挣扎。人们裹着破旧的外套，蜷缩在能找到的任何避难所里，面容憔悴，眼神空洞。战争不仅摧毁了建筑物，也摧毁了这座城市的精神。
然而，在科学院的汇报厅，伊万诺夫博士在进行一场不同的战斗，一场与现实与虚构的战斗。
“开局要出狗，双狗接开拓者——！尊敬的彼得大帝，赌上我老师诺伯特·维纳的名义。您第一个回合应该出狗~”
这一切还要从三个月前，德米特里·谢切诺夫从新大陆留学归来说起。
谢切诺夫是一位杰出的工程师，掌握了新时代的技术进步。在彼得大帝的支持下，他实施了可以自动化几乎所有生活方面的计划。工厂以无比精确的方式运作，由计算机的庞大计算能力控制。曾经繁荣的人类劳动和创造力领域被冷冰冰的机械效率所取代。
这是我第六次进入名为文明的虚拟世界。
从圣彼得堡到列宁格勒，我经历了无数风暴。我看到伊万诺夫博士用尺子和圆规画出无数精美的几何图形，目睹了卡尔·弗里德里希·高斯和埃瓦里斯特·伽罗瓦之间的数学对决。从同余理论的二次互反律到有限域的代数扩展，新颖的代数结构一个接一个地出现。即使是小小的三瓣风车也包含了置换群对称性的美。曾经混乱复杂的世界变得越来越清晰。然而，悖论总是在推理的边界潜伏。哥德尔的不完备性定理驱使数学家不断探索，揭示了探究本身的无限可能性。
谢切诺夫认为伊万诺夫的工作不切实际。“为了数学而数学是一种我们再也负担不起的奢侈品，”他宣称，声音如外面的冬天一样冷酷无情。“我们需要的是解决方案，而不是抽象概念。未来在于应用科学，在于能够重建我们的城市和恢复经济的工程学。我们需要更多的数学家，投入到控制论的数据计算中来。复分析这样飘渺的理论，无法帮助我们的同胞。”
机器的嗡嗡声不绝于耳。
通过概率分布和微分方程，杰出的工程师可以控制世界的每一个角落。生产过程不再有人的盲目，只需要由计算机巨脑控制的机器！没有罢工，没有革命起义！但代价是什么？机器取代了大脑，没有人的机器！文学和艺术被认为是无用的，人类被迫将一切投入到优化生产中。任何不切实际的幻想（虚拟）都被禁止。
伊万诺夫博士热情地为纯数学的重要性辩护，引用历史先例，说明理论发现如何导致突破性的实际应用。“记住欧拉的工作是如何为现代工程奠定基础的？或者黎曼几何是如何为爱因斯坦的相对论铺平道路的？理论数学是所有科学进步的种子。”
但谢切诺夫仍然不为所动。“在战争和困苦时期，我们不能投资于种子。我们需要果实，能够维持和保护我们社会的有形成果。”
“也许，是时候离开了。理论数学家的时代已经结束；未来属于伟大的工程师。”电车静静地停在轨道上。我们头顶的星星闪烁，形成了似乎在讲述自己的故事的星座。
我抬头仰望星空，从那遥远的光芒中寻求安慰。在这一刻，我向历史上的伟大数学家祈祷：戈特弗里德·莱布尼茨、儒勒·亨利·庞加莱或戈弗雷·哈罗德·哈代……你们能否出现在天空中，给我的主人一些灵感，让他不要放弃对数学的探索？
我记得战前的日子，那时生活简单而纯粹，我的主人唯一的战斗是与方程和定理的战斗。他在昏暗的烛光下，在寒冷的空气中不知疲倦地工作。他的手虽然冰冷而疲惫，但动作精确而坚定。他相信对复平面的研究可以帮助我们找到解开高维空间秘密的钥匙。
这一切真的要结束了吗？这是工程师的黄金时代，但却是理论数学家的至暗时刻。人们不再关心无穷小量的重要性，虚数的意义被遗忘，除以零的非法性被忽视。
谢切诺夫的机器虽然高效，但缺乏真正的创新能力。它们可以优化现有的过程，但无法构思新的想法。伊万诺夫博士看到了其中的危险，一个人类停滞不前的未来，被困在增量改进的循环中，没有革命性思维的空间。
“没有想象力，”伊万诺夫经常对我沉思，“我们不过是机器中的齿轮，注定要无休止地重复相同的模式。真正的进步来自那些敢于超越实用的人，看到抽象中的美，看到未经证实中的潜力。”
我再也看不到主人的身影，不知道他乘火车去了哪里。但我相信他在进行一种不同的战争，一种没有硝烟，但需要智慧和想象力的战争。
从星图中，我看到了他眼中的反射，混合着希望和绝望。我知道所有复杂的问题都必须通过更复杂的数学结构来解决。那些只能执行布尔运算的机器无法解决复杂性超过停机问题的问题。如果想象力停止，我们将被锁在一个第一可数的机械世界中，而宇宙远比第二不可数复杂得多。
敬虚数！敬想象力！
——一只游荡在《文明6》世界的虚拟狗~
第二章 游荡在圣彼得堡的幽灵狗
夜色深沉，雪花在空中飘舞。我，一只流浪狗，漫无目的地在被战争摧毁的城市中游荡。每一步都是随机的，没有方向，也没有目标。我的脚步声在空荡的街道上回荡，仿佛在诉说着无尽的悲伤。
在一个破旧的广场上，我遇到了一个身穿旧大衣的老人。他是安德烈·马尔可夫，一位沉迷于数学的学者。看到我，他的眼中闪过一丝好奇。
“你在寻找什么？”他轻声问道，仿佛在对我，也在对自己发问。
我没有回答，只是继续在广场上游荡。马尔可夫静静地观察着我的行动，突然，他的眼中闪过一丝灵光。
“你的游荡是随机的，”他喃喃自语，“每一步都是独立的，没有任何规律可循。”
他开始在地上画出我的足迹，用数学符号记录下每一个转折点。随着时间的推移，他发现了一个有趣的现象：尽管每一步都是随机的，但整体上却呈现出某种统计规律。
“这就是随机过程，”他兴奋地说道，“每一步的方向和距离都是随机的，但整体上却有一定的概率分布。”
马尔可夫决定创建一个简单的模型来描述我的游荡过程。他在地上画了一个表格，标记出不同的状态和它们之间的转移概率：
| 当前状态 | 下一个状态 | 转移概率 |
| -------- | ---------- |
-------- |
| 废墟 | 避难所
| 0.3 |
| 废墟 | 战场
| 0.2 |
| 废墟 | 市场
| 0.5 |
| 避难所 | 废墟
| 0.4 |
| 避难所 | 战场
| 0.1 |
| 避难所 | 市场
| 0.5 |
| 战场 | 废墟
| 0.6 |
| 战场 | 避难所
| 0.2 |
| 战场 | 市场
| 0.2 |
| 市场 | 废墟
| 0.5 |
| 市场 | 避难所
| 0.3 |
| 市场 | 战场
| 0.2 |
“看，这就是你的游荡过程，”马尔可夫指着表格解释道，“每一个状态都有一定的概率转移到下一个状态。通过这个模型，我们可以预测你未来的路径。”
我继续在城市中游荡，这种随机游荡对我是无目的的流浪，在马尔可夫眼中却是一种数学现象的体现。马尔可夫通过观察我的行动，记录着我的每一步。他的笔在纸上飞快地移动，仿佛在捕捉着某种无形的规律。
“这就是马尔可夫链，”他自豪地说道，“通过这种方法，我们可以描述和预测许多复杂的随机过程。”
战后的世界逐渐恢复了平静。废墟被清理，新的建筑拔地而起。人们重新找回了生活的希望，街道上再次充满了欢声笑语。
而我，一条失去主人的流浪狗，继续在被战争摧毁的城市中游荡。每一步都是随机的，没有方向，也没有目标，马尔可夫依然穿着那件旧大衣，但他的眼中也没有欣喜和雀跃。
那时我们都不知道，这样的平静不过是一场战役走向另一场的间奏。
夜色深沉，雪花在空中飘舞。马尔可夫依然穿着那件旧大衣，站在广场上，他在寻找什么？我不知道，或许是一个更通用的模型，或许是一个从庞杂的随机粒子中提炼宇宙规律的数学方法。
“我们需要一个更复杂的模型，”马尔可夫喃喃自语，“一个能够描述未探索区域的模型。”
他开始在地上画出新的图表，标记出不同的状态和它们之间的转移概率。对于未探索的大陆，他提出了一个新的假设：在没有放置视野单位的情况下，地图是不运动的，粒子仅以概率云的状态存在。
“假设在迷雾D中的单位，它的分布函数是P_D(w)，”马尔可夫解释道，“根据这个概率，我们可以计算出每次在D上放一个视野单位，可以探测到粒子的概率。粒子被检测到以后，按照马尔可夫概率做随机游走，P_D(w)这个概率往P_D’(w)进行坍缩。”
我仿佛听懂了他的理论，这一刻我成为了马尔可夫的探子，每一次随机游走都为他丰富模型提供了数据。我继续在城市中游荡，马尔可夫继续在地上画出新的公式和图表，描述粒子被检测到后的行为。他的笔在纸上飞快地移动，只在固定的时间点抬头，检测我的位置与状态。
随着时间的推移，他的模型变得越来越复杂，但也越来越准确。“这就是新的模型，”马尔可夫自豪地说道，“通过计算，我们可以找到最佳的探测时间点，用最小的算力准确地描述和预测未探索区域的行为。”
就在这时，一位身穿旧大衣的老人走了过来，他是安德烈·柯尔莫哥洛夫，“马尔可夫，你的模型非常有趣，但你忘记了考虑空间的拓扑性质。你所有的模型都建立在n维欧式空间上。”
“您是说，有非欧式的空间。” 马尔可夫突然惊醒。
“我想你应该读过伊万诺夫博士在《论复空间的拓扑不变量》。” 柯尔莫哥洛夫给出现在路口的我投了半块面包，“你怎么知道这个城市，不是一个2维复空间吗。”
第三章 阴影下的莫斯科
“离开圣彼得堡，去莫斯科吧。” 柯尔莫哥洛夫在雪地上写下一行地址，“你应该听听他们关于流形上的微积分上的最新发现。”
夜幕降临，漫天飞雪，离圣彼得堡七百公里外的莫斯科。学者们在一个隐蔽的小教室中秘密聚会。莫斯科大学数学系的成员们围坐在一张破旧的桌子旁，他们的脸因饥饿和忧虑而显得憔悴。空气中弥漫着潮湿石头的气味和城市战争的安静、低沉的声音。国家被功利主义的铁拳所控制，工厂为前线生产兵器和物资，而饥饿的家庭在炮火的阴影中寻找残羹剩饭。
小组中最年长的德米特里小心翼翼地将一块破碎的面包放在桌子上。“我们时间不多了，”他说，声音平稳但带着疲惫。“如果我们不尽快交出成果，也许下个月我们都要为谢切诺夫打工了。”
叶卡捷琳娜，双手因寒冷和营养不良而颤抖，开口说道：“如果我们失去了自己的院系？饿死了又有什么关系？我们选择了这条道路。我们是这个国家最后的纯数学捍卫者。如果我们放弃了，谁会继续这项工作？”
房间陷入了沉默。他们都知道事关重大。抽象数学在一个需要立即、实际解决方案的世界中没有立足之地。但对于这些数学家来说，放弃他们的工作感觉像是背叛——不仅是对他们自己理想的背叛，也是对人类思想本质的背叛。
“人们正在死去，”米哈伊尔轻声说道，声音几乎是耳语。“我们的家人，我们的朋友。在外面，他们在挣扎求生，而我们在这里工作……什么？一个可能在另一个世纪都解不出的方程？我们要如何向众人辩护？”
这个问题悬在空气中，沉重而令人窒息。
“确实如此，”谢尔盖打破了沉默。“我们在这里所做的事情可能永远不会见天日。但如果我们现在放弃，我们就承认这个世界没有美，没有真理。只有生存，别无其他。”
“但代价是什么？”米哈伊尔追问，声音因情绪激动而颤抖。“我们真的能看着饥饿的孩子们的眼睛，告诉他们这些抽象的公式比他们的生命更重要吗？”
房间变得更冷，沉默更加压抑。
德米特里终于开口了，声音低沉。“这不是生与死的选择。这是我们想要过什么样的生活的选择。是的，人们在受苦。但如果我们放弃了让生活有意义的一切，如果我们把一切都简化为生存，那么我们和谢切诺夫的机器有什么不同。”
突然，一个低沉的声音打断了他们：“你们都错了。”所有人都转头看向声音的来源——尼古拉·尼古拉耶维奇·卢仁科，一个身材魁梧的拓扑学家，平日里寡言少语，但此刻却爆发出异常的热情。“我们不是在作战，我们是在守护。守护我们祖国的灵魂，守护那深植于我们民族之中的数学之美。如果我们屈服了，如果我们妥协了，那么苏联就不再是那个孕育出罗巴切夫斯基和契比雪夫的苏联了。”
“我们要如何守护？”叶卡捷琳娜疑惑地问道。
卢仁科抬头望向窗外，仿佛透过雪花看到了遥远的未来：“通过研究，通过创新，通过我们手中的每一根笔。我们要在思想的战场上赢得胜利，不仅仅是为了我们自己，更是为了整个未来的苏联。我们要证明，即使是在最黑暗的时刻，数学的光芒依然能够照亮前路。”
他看着在场的每一个人，眼中燃起了一丝决心的火焰：“从今天起，我们要组织一支隐秘的数学研究小组，继续研究那些被认为‘无用’的数学领域。我们要将每一个灵感、每一个发现，传递给下一代。即使我们无法在我们这一代看到成果，我们也要确保未来有人能沿着我们的道路走下去。”
窗外，雪依然在下，仿佛无尽的计算，也仿佛无尽的希望。
第四章 抽象性的挑战
在冰雪覆盖的莫斯科，寒风刺骨，街道被寂静所笼罩，唯有夜晚的灯光在昏暗中透出微弱的温暖。我跟着马尔可夫踏入了莫斯科数学学派的大门，记忆里还带着斯大林格勒之战的疲惫，脑海里是对这个国家未来的渴望与不安。战争的阴影无处不在，封锁与压迫时刻威胁着这座城市。
我想起了老主人的绝望和低语，但心底有另一个声音告诉我：若还有一丝希望，那便在这里，在这座由思想和信仰筑成的堡垒之中。
在莫斯科数学学派的会议室里，古老的墙壁上挂着亚历山大·冯·洪堡和索菲亚·科瓦列夫斯卡娅的画像。他们的目光仿佛穿透了历史，注视着这群肩负重任的后辈们。在这里，马尔可夫遇见了科尔莫哥洛夫、阿列克桑德罗夫、鲁津等一众学者。
外面，风刮了起来，在破碎的街道上呼啸而过，悲痛的哀号似乎回荡着房间里每个人的思绪。他们都听过前线士兵的故事，他们的身体破碎，精神崩溃，家庭因饥饿和寒冷而支离破碎。黑板的表面现在布满了裂缝，就像他们一生所走过的支离破碎的道路。
但没有一个学者的决心被动摇：我们会的，我们必须——
科尔莫哥洛夫的手指轻轻敲击着黑板，符号和方程逐渐填满了黑板的空白。每一个符号，都是他在现实世界中看到的混沌现象的抽象化表达。这不仅仅是数学，而是对世界本质的解读。
在另一间工作室里，叶戈洛夫和鲁津正沉浸在函数论的研究中。叶戈洛夫的笔在纸上飞舞，描绘着一个个复杂的函数图形。这些图形并非随意的线条，而是自然现象的抽象模型——从河流的蜿蜒到星系的旋转，甚至到人类心跳的节律，都可以用代数簇来描述。
“数学不仅是公式与证明，”科尔莫哥洛夫兴奋地说道，声音中透着无法忽视的力量，“它是一种对世界的理解，是我们在这混沌与暴力的现实中，寻找秩序与真理的唯一途径。”
鲁津点头表示赞同：“即便在最黑暗的时刻，我们也不应该放弃对纯粹数学的研究。它可是上帝写给人类的世界说明书，我们理解世界的最后语言。”
我找到了可以继续陪伴作战的主人，马尔可夫的研究却陷入困境。
马尔可夫起初试图用他熟悉的随机过程理论来解释莫斯科学者们的拓扑研究。他着手分析不同拓扑空间中的随机游走，并试图通过计算每个点的概率分布来预测系统的行为。尽管他对拓扑结构有所了解，但他仍然习惯于用具体的数值和概率分布来处理问题。他期望通过计算出每个点的转移概率来掌控整体的随机过程。然而，每次他试图将数值结果与拓扑空间的全局结构结合时，问题就变得异常复杂和模糊。
在与科尔莫哥洛夫、卢仁科和其他学者的讨论中，他感受到一种前所未有的压力。这些学者们已经习惯了用抽象代数和拓扑不变量来描述问题，而马尔可夫却难以脱离他那基于具体数值的直觉。他的思维深陷在具体数值与抽象拓扑概念的对立之中。每当他试图建立起两者的联系时，他发现自己陷入了新的困境。当他尝试用概率分布来解释复空间的拓扑结构时，他的模型变得越来越复杂，但结果却并不理想。
“为什么这些抽象结构如此冷漠？”他不禁在内心自问。科尔莫哥洛夫看出了他的挣扎，缓缓走到他身边，轻声说道：“这些结构看似冷漠，实则蕴含着深邃的规律。你需要做的，是突破具体数值的桎梏，进入一个全新的思维空间。在那里，现实与抽象将融为一体。”
每一个冬夜，他们都在莫斯科学院的灯光下进行激烈的讨论，试图在抽象与现实之间架起桥梁。
风从几乎破碎的窗玻璃缝隙中呼啸而过，带着远处枪声的回响。这种声音已经变得和他们脚下旧木地板的吱吱声一样熟悉。每一个尖锐的报告似乎都击中了房间的中心，在挤在黑板周围的数学家们的脑海中回响。
外界的寒冷与压力，反而使他们的信仰愈发坚定。在一次与科尔莫哥洛夫的深夜讨论中，马尔可夫突然灵感迸发，他意识到可以将代数几何中的射影空间结构与他的随机过程模型结合，通过光滑流形上的黎曼几何，描述那些复杂而无序的随机过程。
[此贴子已经被作者于2024/8/20 13:24:45编辑过]
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